21條趣味數學問題及解答

一、前言
信堅近十年來修行,首在由定開慧,有智慧就能解決一切問題。有智慧就能深入信解一真法界,諸法實相。解悟了諸法實相,就知萬法唯心,一切法唯心所現,唯識所變。就知萬物一體,就能一以貫之。一經通,一切經通,一法通,一切法通。

因此,四年來,信堅對一乘佛經義理,有所解悟之後,就以此更深廣信解,首先回頭,快速看完老莊,再看四書五經。近幾個月來,又再以此諸法實相,萬法一體的觀點,回首重看信堅本行,高能物理,統一場論,超弦理論,量子力學,相對論,天文物理,宇宙論。因此張貼了三篇有關時間、及最新的宇宙膨脹模型的科普文章。有時間也會再張貼一篇全息宇宙論。

修行至一段落後,法法都是修行法門。近幾個禮拜,因孫子 紘燁先生 因緣,又回首重溫舊夢,以新見解認知,重解一些小學至高中的數學問題。此文是收集一些有趣數學問題,加上解題的思維方法。問題分小學、初中、高中程度,由易入難。

解答數學問題,可訓練多方面思維觀察的能力。最主要的挑戰是對於每題,你能找出幾種解法,同時也能找出最簡單的解法,及一般定律,才是高手。

二、小學班問題

【問題1】四個孩子
有四個孩子,恰好一個比另一個大一歲,他們的年齡相乘等於3024。算一算這四個孩子的年齡是多少?

1a. 分解法
3024 = 2x2x2x2x3x3x3x7 = 6x7x8x9

[要將3024分解成四分,最好的方法是找出最小乘數。7 給於解此問題重要提示。]

1b. 列表方法
1234    2345   3456    4567     5678     6789
  24        120     360     840      1680     3024

1c. 最簡單的一般解法是:
(3024)1/4 =7.4  => 因此第二個孩子是 7 歲. 所以答案是 6, 7, 8, 9.

1d. 一般公式
如果有 n 個相連的正整數,其乘積是 N, 則此數列的第 [n/2] 數字是 [N1/n]。 
( 註: [n/2],  [N1/n 的定義是 n/2, N1/n 的整數值)。

譬如,
n=4, N=43680, 則 [N1/4]=[14.46]=14. 因此, [n/2]=2, 答案是 13, 14, 15, 16.
n=5, N=1028160,則 [N1/5] = [14.93] = 14. 因此, [n/2] = [2.5] = 2,
此五位數是 13, 14, 15, 16, 17.
n=7, N=1663200,則 [N1/7] = [7.74] = 7. 因此, [n/2] = [3.5] = 3
此七位數是 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
n=9, N=79833600,則 [N1/9] = [7.55] = 7. 因此, [n/2] = [4.5] = 4,
此九位數是 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

【問題2】21桶油的分法
供銷社運來21桶油。其中7桶是滿的,7桶是半桶, 還有7桶是空的。請問如何將它們分成三等分?

解題重點提示在於3, 7, 21 之間關聯: 21 = 3 x 7, or 3 = 21/7.
總共 7×2+7+0 = 21半桶. (全桶是兩個半桶) => 每個代銷商分七個半桶油
[答案是: 二滿桶三半桶二空桶,二滿桶三半桶二空桶,及三滿桶一半桶三空桶。]

滿桶               2    2     3
半桶               3    3     1
空桶               2    2     3
_______________________
總共半桶數    7    7     7

【問題3】孫子問題
(原文) : 今有物不知其數, 三三數之剩二, 五五 數之剩三, 七七數之剩二, 問物幾何? (白話翻譯): 有一堆東西, 不知道有幾個,如果三個三個去數, 剩餘二個; 五個五個去數, 剩餘三個; 七個七個去數, 剩餘二個; 問此物的總共數目是多少?

3a. 列表解法:
n            1    2    3     4     5     6     7     8     9
3n+2      5    8   11  14   17   20   23   26   29
5n+3      8   13  18   23  28   26
7n+2      9   16   23   30  37
答案有無限多: 105n+23 = 23, 128, 233, 338, 443, 547 …. , n 是正整數。

3b. 另一古代算經算法: 解此種問題的一般公式是
N = 3x5x7 n + A, where A = 3x5a +5x7b+3x7c = 15×2+35+21×3 = 128
A÷7 餘 2 => a =2
A÷3 餘 2 => b= 1
A÷5餘 3 => c= 3
因此,A = 105n + 128 > 0 都是答案 。 最小值是 23, (when n = -1).

3c. 其實,這解法也太複雜了,另一個最簡單的解法是:
A = 3x7n+2 滿足33數與 77數的條件。當n=1時,A= 23 也同時滿足55數的條件。因此 答案是 105n+23, 如3a.

3d.一般解法
有一堆東西, 不知道有幾個 N,如果3個去數, 剩餘 k1 個; 5個去數, 剩餘 k2 個; 7個去數, 剩餘 k3 個; 問此物的總共數目是多少?

N = 3x5x7n+A = 105n+A,
A=3x5a+5x7b+3x7c= (14+1)a +(36-1)b +(20+1)c
==>  a=k3 , b=-k1, c=k
==>答案是  N=105n+A, A=15k3 -35 k1 + 21k2

例子:
此題,k1=2, k2=3, k3=2, ==> A = 23
==> N = 105n + 23 = 23,128,233, 338, 443 …

k1=2, k2= 3, k3=4, ==> A = 53
==> N = 105n + 53 = 53,158,263, 368, 473 …

k1=1, k2=3, k3= 1   ==> A = 43
==> N = 105n + 43 = 43,148,253, 358, 463 …

【問題4】韓信點兵
每8人一隊或7人一隊都餘1人, 每5人一隊餘2, 已知兵員略多於兩千人, 問: 韓信有多少兵員?

4a. 列表解法
n              1    2    3     4     5     6    7     8     9    10   11   12   13 
x=5n+2    7  12  17    22  27   32   37   42   47   52   57   62   67 
x=7n+1    8  15   22   29  36   43   50    57  64
x=8n+1    9  17   25   33  41   49   57    65
5x7x8=280 ==> 一般的答案是 280n +57.
若 280n+ 57 > 2000 ==> 最小的n 是 7,總兵員是 280×7 + 57 = 2017.

4b. 算經解法:
總兵員是280n+A,
where A = 8x5xa + 5x7xb + 7x8xc = 7x8x2+ 8x5x3 + 5x7x3 = 337
由除以8餘1,得a=3.除以7餘1,得b=3. 除以5餘2,得c=2.
280n+337 > 2000 ==> n = 6,總兵員是280n+A = 280 x 6 + 337 = 2017
[For n=-1, smallest number is -280+337 = 57.]

4c.最簡單解法
A = 8x7n+1 滿足88數與 77數的條件。當 n=1時, A=57 也同時也滿足55數的條件。再如4a, 280n+ 57 > 2000 ==> 最小的n 是 7,總兵員是 280×7 + 57 = 2017.

4d. 一般解法
韓信總兵員N 最接近 2000,88數剩 k1, 77數剩 k2, 55數剩k3, 問韓信總兵員N是多少?
N = 8x7x5n+A,  A = 8x5xa + 5x7xb +7x8xc
8x5xa =35a+5a =7m1+k2, 5a=k2+7p1 => p1=-3k2, 2k2
=> a= -4k2, 3k2
5x7xb =32b+3b= 8m2+k1, 3b=k1+8p2=> p2= -2k1,k1
=> b = -5k1, 3k1
8x7xc = 55c+c =5m3+k3, c=k3+5p3 => p3= –k3,0,k3=>
c= -4k3, k3, 6k3,
==> A = -160k2+105k1+56k3

舉例:
k1=1, k2,k3=1 => A=281, N=280n+281=1,281,561,841,1121,1401,1681,1961,2241
k1=1,k2, k3=2 => A=57, N=280n+337=57,337,617,1457,1737,2017
k1=3, k2,k3=3 => A=163, N=280n+163=163,443,723,1283,1563,1843,2123

【問題5】: 那一號隊員最後離開
1-50號運動員按順序站一排,「一、二」報數,隊長讓報單數的運動員離開隊伍。剩下的隊員再重新報數,新的單數又離開了隊伍。請問,哪號運動員最後離開?

5a. 列表法:
第一次剩: 2, 4, 6 … 48, 50 (2的倍數)
第二次剩: 4, 8 , 12, … 44, 48 (4的倍數)
第三次剩: 8, 16, 24, … 40, 48 (8的倍數)
第四次剩: 16, 32, 48 (16的倍數)
第五次剩: 32 (答案)

5b.代數法
答案是 2n, 滿足 2n <50 的最大數目 ==>  n=5, 25= 32.
[信堅註: 上題如改成: 有 1000 運動員排成一列,那號運動員最後離開?
答案是 29 = 512.]

【問題6】黑白棋子數目
有黑白棋子一堆,黑子是白子的2倍,現在從堆內每次取出黑子4個,白子3個,等到幾次後,白子已盡而黑子還餘16個,求黑白棋子各多少?

6a. 列表解法
假設要抽 n 次,則黑子總數目是 4n+ 16,白子總數目是 3n
抽的次數   n     1    2    3     4     5     6     7      8
White       3n    3    6    9   12   15   18   21    24
Black 4n+16   20  24  28  32   36   40   44    48

6b.代數解法
4n+16 = 2x3n ==> n=8. 因此黑子數目= 4×8+16= 48, 白子數目= 3×8= 24.]

【問題7】幾本書
小紅、小虎、小芳和小華4個孩子共有 45本書,但是不知道每人各有幾本。如果變動一下:小紅的減2本,小虎的加2本,小芳的增加一倍,小華的減少一半,那麼4個是個孩子的書本就一樣多。請你算一算,每個孩子各有幾本書?

7a. 代數解法
假設 小紅有 X 本書,則 X-2 = 小虎+2 = 2小芳 = 小華/2
==> 小虎 =X-4,   小芳= (X-2)/2,    小華=2(X-2)
四人的總和  45= X + (X-4) +(X-2)/2 +2(X-2) = 9X/2 – 9 ==> X = 12

7b. 列表解法 [書的數目必須是偶數 (由小華能減一半看出)]
小紅      6     8    10    12
小虎      2     4     6      8
小芳      2     3     4      5
小華      8    12  16     20
_________________________
Total   18    27   36    45   (以9的倍數增加)

二、 初中班問題

【問題8】一道六位數問題
這是一道很古老的算術問題:有一個 六位數的正整數abcxyz,乘以6之後,變成xyzabc. 問: 這六位數是什麼?

關鍵在於將六位數分成 abc 及 xyz 兩組。
6abcxyz =6000abc+6xyz
=xyzabc = 1000xyz+abc => 5999abc = 994xyz

除以7 得=> 857 abc = 142 xyz
因142 及 857 是不可再分的 質數, 所以 abc = 142, xyz = 857
即這六位數正整數abcxyz是142857。
[註: 三位數abc 符號的定義是: abc =100a + 10b +c.]

【問題9】兄弟兩人年齡
今年兄弟兩人的歲數加起來是55歲,曾經有一年,哥哥的歲數是弟弟今年的歲數,那時哥哥的歲數恰好是弟弟的兩倍,請問兄弟今年的年齡各是多少?

假設哥哥的歲數=X,弟弟的歲數=Y,在A年前。則依題可得下面三個方乘式:
X+Y=55,
X-A=Y,
X-A=2(Y-A).
將第二公式Y=X-A 代入第三公式,即得 X=3A.
將X=3A代入第二公式,即得 Y=2A.
將此 X,Y帶入第一公式即得 A=11. 因此,X=33, Y=22.
答案是: 哥哥33歲, 弟弟22歲。

【問題10】赴宴的人數
大廳裡正舉行宴會,每人端起酒杯都要跟其他所有的人碰一次杯,一共碰杯136次,你能說出有多少人參加宴會嗎?

10a. 代數解法
假設有X人來參加宴會。
第一個人要碰X-1次,
第二個人要碰X-2次,
第三個人要碰X-3次,
………………..
第(X-1),只要碰1次,
第X个就不用再碰了。
因此總共是: (X-1)+(X-2)+(X-3)+……+3+2+1=136
==> X (X-1)/2 = 136

==> X2 – X – 272 = 0,
解得 X= [1+(1+1088)]1/2/2 = (1+33)/2 = 17.  (X是正整數)

[註: 利用數學公式: 1+2+3+ …+x = (x+1)x/2, 及 二次方程式 ax2+bx+c=0 的一般解答是:
star-2
這些公式是要背熟的。]

10b. 另法解 X(X-1)/2 = 136 = 碰杯數
X2 – X – 272 = 0 ==> X = (X+272)1/2 > 2721/2 = 16.49 (X>0 的正整數)
因 X > 16. 從 X = 17 算起:  當 X=17 時,碰杯數 = 17×16/2 = 136 剛好是答案。

10c. 一般公式
如果有 X 人參加宴會, 碰了 N 次杯, 則公式是 X2 – X – 2N = 0.
==> X > (2N)1/2
譬如總共碰了 N=528次,則 X > 32.50 ==>   X = 33 是答案。
譬如總共碰了 N=171次,則 X > 18.49 ==>   X = 19 是答案。

【問題11】植樹問題
有九株樹,要栽十行,每行三株,共有三種解法,請你幫忙想一想。(例如:田字型有八行。)
解答如下圖:
star-1
【問題12】速算問題
如果已知:
12345679× 9 = 111111111
12345679×18 = 222222222
12345679×36 = 444444444
你能快速猜出下面問題的答案嗎?
12345679×54=?
12345679×81=?
[暗示: 18 =2×9, 36 =4×9, 54 =6×9, 81=9×9]

【問題13】四位數abcd = (a+b+c+d)4 , 試問此四位數為何?
解答的關鍵在於四位數目,1000 < abcd = (a+b+c+d)4 < 9999 => 四方根是  5.62 < a+b+c+d < 10,限定了求解的範圍。
a+b+c+d          6                  8           9
(a+b+c+d)4    1296   2401   4096      6561
(a+b+c+d)’     18          7        19         18

【問題14】訂購教科書
校長問:「這學期訂購的教科書都送來了嗎?」 老師:「按計畫是分三次送來,第一次是303本,第二次是五分之一,都送到了。當還有七分之X沒送到。」 校長:「X是多少?」老師:「X是整數,請您算一算。」 請大家來算一算X是多少?同時也算一下訂購了多少本書 N?

N=303+ N/5 +XN/7 => 35N = 35×303 + (7+5X) N
=> (28-5X) N = 3x35x101

因 3, 35, 101 都是質數, X是大於零的整數 ==> 28 – 5X = 3
==> 唯一解是 X= 5, N=35×101 =3535.

【問題15】四位數abcd = (a+b+c+d)3 試問此四位數為何?
解答: 因 1000< abcd= (a+b+c+d)3 < 9999, => 10 < a+b+c+d < 21.54 a+b+c+d       11     12     13    14      15      16     17    18     19     20
(a+b+c+d)3 1331 1728 2197 2744  3375 4096 4913 5832 6859  8000 
(a+b+c+d)’      8      18     19    17      18     19     17     18     28       8
答案是 4913 或 5832.

【問題16】分牛奶的難題
十八世紀法國著名數學家巴遜,據說他最初的願望不是搞數學,他的父母原希望他做個醫生,噹是由於一個偶然的機會,才使他改變了志願。 有一次,巴遜跟他的朋友到鄉間去旅行。有兩個路人到他的住處附近購買牛奶。主人從地窖裡拿來了一桶八公斤的牛奶,買者請求對半分。使主人感到為難的是:他身邊沒有磅秤,只有兩個瓦罐,大的可以裝五公斤,小的裝三公斤,怎麼辦呢?巴遜想了一下,便自告奮勇地為主人解決了這個難題。他的朋友邦稱贊他有數學天才,一致鼓勵他攻讀數學,巴遜接受了朋友的忠告,刻苦勤奮地埋頭攻讀數學,後來果然成為法國赫赫有名的數學家。 這個問題並不太複雜,只要肯動腦筋,一定可以解決的。你願試一試嗎?

列表解答:
8公斤桶|    8   3   3   6   6   1   1   4
5公斤桶|    0   5   2   2   0   5   4   4  
3公斤桶|    0   0   3   0   2   2   3   0

三、高中班問題

【問題17】數字編組
這裏有十個數字:21、22、34、39、44、45、65、76、133、153。請你把它編成兩組,每組5個數,並且兩組數目的乘積會相等。

這10 個數字相乘後的平方根 (square root) 是 349,188,840. 它是 5 個數目的乘積。

在此兵分兩路:
==>133×2625480= (133x34x45)x 1716==> 133x45x34x(39×44) 

[註: 2625480不能被21, 76, 153 除]
==> 153×2282280=(153x21x76)x1430 ==> 153x21x76x (22×65) 
[註: 2282280 不能被34, 45, 133 除]
因此,答案是 (34,39,44,45,133) 及 (21,22,65,76,153) 兩組。

【問題18】分糖
春節的時候媽媽給小龍買了一斤水果糖(不超過100顆)。上午小龍吃了一塊,然後把剩下的糖分出三分之一送給奶奶。下午小龍又吃了一塊,再把剩下的他分出三分之一送給隔壁的小弟弟。晚上小龍又吃了一塊,然後把剩下的糖再分出三分之一給爸爸媽媽吃。第二天,來了三位小朋友,小龍把剩下的糖果分成三份,最後還多了一個。請你算一算,一共有多少糖?

假設小朋友每人分到 n 塊糖,總共有 N 塊糖,則
奶奶分得 (N-1)/3,
小弟弟分得 [2(N-1)/3 – 1]/3 = (2N-5)/9
爸媽分得  [2(2N-5)/9 – 1]/3 = (4N-19)/27
3位小朋友 2(4N-19)/27 – 1 = 3n
==> 8N=65+81n ==> n=7,and N=79. [因 n 及 N 是正整數]
答案是總共有 79 塊糖

[信堅註: 求 8N=65+81n 之解答的方法如下: 先將此方程式改寫成
N = 8+10n + (1+n)/8,
則知 n=7+8a 都是可能的解答
==> N = 79 + 81a 都是可能的解答 (a 是正整數)
此題限制 N < 100, 因此解答是 a=0, N=79. 如果將題目改為 N 稍小於 500,則答案是 a = 5, N = 484.]

【問題19】兩支臘燭
粗蠟燭和細蠟燭長短一樣。粗蠟燭可以點5小時,細蠟燭可以點四小時,同時點燃這兩支蠟燭,點燃一段時間後,粗蠟燭是細蠟燭的4倍。您能夠算出這兩隻蠟燭兩支蠟燭點了多少時間嗎? 
4(1-x) = 5(1-4x) => x=1/16 4x (1-1/16) = 15/4 hr. (x 是剩餘長度)

改成比較容易: 粗蠟燭和細蠟燭長短一樣。粗蠟燭可以點6小時,細蠟燭可以點4小時,同時點燃這兩支蠟燭,點燃一段時間後,粗蠟燭是細蠟燭的2倍。您能夠算出這兩隻蠟燭兩支蠟燭點了多少時間嗎?
T = 4(1-x) = 6(1-2x) => x=1/4 T = 4 x (1- ¼) = 3 hr.
剩餘長度: 粗蠟燭= 1-T/6 細蠟燭= 1-T/4
點的時間     0      1       2        3
粗蠟燭         1    5/6     2/3    1/2
細蠟燭         1    3/4     1/2    1/4
倍數             1    9/10   4/3     2

【問題20】菲波拉契系列 (Fibonacci Sequence)
十三世紀初,義大利出版了本研究算術和代數的書籍<<算盤書>>,它是當時歐洲人推廣阿拉伯數字的重要書籍。數學家菲波拉契在書中提出一個樂趣的題目:「假設一對兔子配成對偶後,在第二個月後,便可每月生下一對 (一雌一雄) 的小兔子。假設每隻兔子都能健康存活。問: 如果開始有一對初生兔子,一年之後,總共會有多少對兔子呢?」

列表計算:
幾月後               1  2  3  4  5  6   7   8    9   10   11   12    13
數量 (生產期)    0  0  1  1  2  3   5   8   13   21   34   55   89
(出生兩個月內)  0  1  0  1  1  2   3   5    8   13   21   34    55
(出生一個月內)  1  0  1  1  2  3   5   8  13    21  34   55    89
總數                   1  1  2  3  5  8 13 21  34    55  89 144  233

如此下去,每個月兔子的成對個數分別是1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55, 89, 144, 233, …….。這數列我們稱之為斐波拉契系列,且其特徵是在每個數字是前兩個數字的總和。

如以數學術語表達,斐波納契數的序列 Fn 的遞歸關係是:
Fn=Fn-1+Fn-2,  n >3,  F1=1, F2=1.

【問題21】喝汽水問題
有n 瓶汽水,每兩個空瓶可換一瓶汽水,每三個瓶蓋可換瓶汽水,問: 總共可喝幾瓶汽水? 答案是 N=6n-7, 剩一瓶蓋及二空瓶。
(若借貸7空瓶及7 瓶蓋,則可多喝7瓶, 即 N = 6n)

列表解題
汽水    空瓶    瓶蓋
2           2         2
1+0      0+1     2+1
0+1      1+1     0+1
1+0      0+1     1+1
__________________
5            1          2
==> n=2,總共可喝 5=6xn-7瓶汽水, 剩一空瓶及二瓶蓋。

汽水       空瓶      瓶蓋
3              3            3
1+1        1+2        0+2
1+0        1+1        2+1
1+1        0+2        0+2
1+0        0+1        2+1
0+1        1+1        0+1
1+0        0+1        1+1
___________________
11           1             2
==> n=3,總共可喝 11=6xn -7 瓶汽水, 剩一空瓶及二瓶蓋。

1           1+1         2+1  若再增加一瓶汽水
1+1       0+2         0+2
1+0       0+1         2+1
0+1       1+1         0+1
1+0       0+1         1=1
___________________
17           1             2
==> n=4, 總共可喝 17= 6xn -7 瓶汽水, 剩一空瓶及二瓶蓋。

==> 一般公式是若有n瓶汽水,則總共可喝 N = 6n-7 瓶汽水, 剩一空瓶及二瓶蓋。此地的 -7 是所謂量子化糾正 (quantization correction),因空瓶與瓶蓋是整數,不可細分。

若向銀行借 7 空瓶及 7瓶蓋 [量子力學的述語叫真空波動 (vacuum fluctuation)],則
6n-7        1          2
          -7+7+1   -7+7+2
4+3       -7+7       -7+7
___________________________
6n           0             0
==> 一般公式是,若有n瓶汽水,則總共可喝 N = 6n 瓶汽水, 沒剩下空瓶或瓶蓋。

This entry was posted in 美圖趣文, 趣味科學 by wtsai. Bookmark the permalink.

About wtsai

台南一中、台大物理、 哈佛博士。曾任教授、科學家、工程師。專長: 吹牛、高能物理、太空物理,地球物理,人造衛星設計、測試、發射、資料回收及科學應用。略涉: 武俠、太極、瑜珈、導引、氣功、經脈、論語、易經、老莊、一乘佛經、禪經、靈界實相、Hawkins、Seth。

2 thoughts on “21條趣味數學問題及解答

  1. 問題17等價
    (7,3) (2,11) (2,17) (3,13) (2,2,11) (3,3,5) (5,13) (2,2,19) (7,19) (3,17,3) 分成兩組 數字組合是完全相同

    • 智忠師兄:

      多謝師兄提供一個相當有創意的解答。應用因素分析法(Factor Analysis Approach),就能很簡單的將他們分成兩組:

      (7,19) (2,17) (3,3,5) (3,13) (2,2,11) => (133,34,45,39,44)
      (3,17,3) (2,2,19) (7,3) (5,13) (2,11) => (153,76,21,65,22)

      這誠然是最簡單的解法,真佩服師兄數學能力。

      信堅

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>