略論魔幻方陣 (Magic Square) 及九宮八卦圖的製作及解說

0.導論
前一陣子,信堅及Allen 陷入”喝汽水算術問題”的魔境,窮研其圓滿解答及啟示。剛告一段落,現在又因友人送來Albrecht Dürer (1471-1528) 於1514 年在他的一副畫上所繪4x4魔幻方陣圖所著迷。依此數字,1至16,在四方格子裡的巧妙排列,無論從任何角度看,四個數字的總合都是34。奇巧無比,真佩服他的聰明才智。初看以為問題深奧,只此一家,別無分店。同時,也在思維,此中所含造物玄機,神的諭旨(Oracle)。
cube2 cube3
再經深入研討,發現建造此四方魔幻陣的方法,相當簡單。所謂,江湖一點訣,說破不值錢。同時,排列方法,有幾千種不同。早在第十至第十二世紀,波斯及印度就有流傳。同時發現,3x3魔幻方陣圖早在洛書(650 BC) 就有記載。由此而發展成八卦、易經、占卦。

更深入探討,發現古聖先賢早已想出解答 n x n 魔幻方陣的方法。而且,也以下面公式,計算 n x n 魔幻常數,M:

formula1For normal magic squares of order n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9, the magic constants are, respectively: 15, 34, 65, 111, 175, 260 and 369.

一. 魔幻方陣之祖: 洛書
魔術方陣簡單的說,就是一個由1到n*n 的數字所組成的n x n陣列,具有各對角線,各橫行與縱列的數字和都相等的性質。最簡單的魔術方陣是3x3。3x3魔幻方陣圖早在洛書 (650 BC) 就有記載。據說大禹治水時,在洛水發現一隻大烏龜,背上刻有圖案,若用數字表示 就是3x3魔方陣,它的特點是每行、每列與兩對角線上之三數相加皆是15。古書記載,河圖是由古人觀星象,加上宇宙、人生運作法則,而加以應用。
turtle1 R3 R4
製作方法: 先將數字1至9依順序排列 (圖一),先以四角數字對換,如 (圖二)。再以5為中心,順時針旋轉45度 (一個位次)  就行了 (圖三)。

   2    3          9     2     7            4      9      2
4    5    6          4     5     6            3      5      7
   8    9          3     8     1            8      1      6
(圖一)             (圖二)                  (圖三) 洛書

從此基本九宮方陣,我們可用反射 (reflection,圖四及圖五)。也可以5 為中心,順時針旋轉 90度 (圖六)、180度 (圖七)、270度 (圖八),而得到類似九宮方陣。

8     1     6           2      9      4            8      3       4           6      1      8           2      7      6
3     5     7           7      5      3            1      5       9           7      5      3           9      5      1
4     9     2           6      1      8            6      7       2           2      9      4           4      3      8
(圖四)                (圖五)                    (圖六)                     (圖七)                   (圖八)

二. 4×4 魔幻方陣製作方法

江湖一點訣,說破不值錢。4×4 魔幻方陣製作之法,相當簡單。一種製作法是依金庸射鵰英雄傳,黃藥師的女兒,黃蓉,的指示:「以十六字依次作四行排列,先以四角對換,一換十六,四換十三 (圖九),後以內四角對換,六換十一,七換十 (圖十)。這般橫直上下斜角相加,皆是三十四。」

1       2      3      4               16       2       3        13
5       6      7      8                5       11      10       8
9      10     11    12              9        7        6       12
13    14     15    16                    14      15      1
圖九                                   圖十

另一種製作法,是將數字由1至16,順序排列 (圖十一)。再將中間兩行及兩列的外方數字 (有色數字) 對調,就行了 (圖十二)。

1      2      3      4              1       15      14      4
5      6      7      8              12      6        7       9
9     10    11    12              8       10      11     5
13   14    15    16             13      3        2      16
圖十一                             圖十二

由此基本答案,可加上許多不同運作,而得到同樣可用的 4×4 魔幻方陣。例一: 交換內部兩行或內部兩列 (圖十三至圖十五)。

1      14     15     4             1      15      14      4             1      14      15      4
12     7      6       9             8      10      11      5             8      11      10      5
8      11     10     5            12      6        7       9             12     7       6        9
13     2      3      16           13      3        2      16            13     2       3       16
圖十三                            圖十四                                 圖十五

例二: 旋轉90度 (圖十六至圖十八)。

13     8     12     1               16      3      2      13              4      9       5      16
2      11     7      14              5      10     11     8               15     6      10      3
3      10     6      15              9      6       7      12              14     7      11      2
16     5      9       4               4      15     14     1                1     15     8      13
圖十六                               圖十七                                 圖十八

例三: 由圖十三,內部旋轉  (圖十九至圖二十)。

7      12      1      14              12      1      14      7
2      13      8      11              13      8      11      2
16     3      10      5                3      10      5      16
9       6      15      4                6      15      4       9
圖十九                                  圖二十

三、九宮八卦圖的製作方法與解答

金庸射鵰英雄傳裡,黃藥師的女兒,黃蓉,解釋九宮八卦圖時說:「那九宮,每宮又可化為一個八卦,八九七十二數。以從一至七十二之數,環繞九宮成圈,每圈八字,交界之處,又有四圈,一共一十三圈。每圈數字相加,均為292。」 舉手之間,又將七十二數的九宮八卦圖在沙上畫了出來。

九宮是洛書裡的 3×3 方陣,分成九格(九宮)。八卦是是易經中所記載的八個符号: 乾、兌、坤、離、巽、震、艮、坎。其排列如下圖,形成一個正八角形。九宮八卦是九宮與八卦的組合。九宮裡的每一宮,都有一個八卦圖,排列如右下圖。
Three eight nine pagua
這是一個稍微不規則的魔幻方陣。每一小圓圈裡填上一個數字,從1 至72。每圈數字相加,總合均為292。

其製作方法有多種。在此簡單解說國立屏東高級中學林昆餘及羅有成所用方法。任選一個上面所說的九宮圖的數字排列,作為基本九宮圖 (譬如,用圖21,即上面九宮圖4)。因為我們需要八個九宮圖。因此我們先將圖21,旋轉180, 90,及270度,而形成圖22、圖23、及圖24。

8     1     6        2     9     4            4     3     8             6      7      2
3     5     7        7     5     3            9     5     1             1      5      9

4     9     2        6     1     8            2     7     6          8      3      4
(圖21)                (圖22)                (圖23)              (圖24)
基本九宮圖     Rotate 180       Rotate 90             Rotate 270

首先我們注意到,這四圖的 “同一宮” 的數字總合都是20。譬如,西北宮,8+2+4+6=20; 東南宮,2+8+6+4=20; 正東宮: 7+3+1+9=20。

由此四圖,我們可造出八組九宮圖:

(圖21)+9*0 (第1組);   (圖21)+9*4 (第5組)
(圖22)+9*1 (第2組);    (圖22)+9*5 (第6組)
(圖23)+9*2 (第3組);    (圖23)+9*6 (第7組)
(圖24)+9*3 (第4組);    (圖24)+9*7 (第8組)

8     1      6          11     18     13            22     21     26               33     34     29
3     5      7          16     14     12            27     23     19               28     32     36
4     9      2          15     10     17            20     25     24             35     30     31
(第1組)              (第2組)                    (第3組)                       (第4組)

44    37    42          47     54     49            58     57     62            69     70     65
39    41    43          52     50     48            63     59     55            64     68     72
40    45    38          51     46     53            56     61     60          71     66     67
(第5組)                (第6組)                    (第7組)                     (第8組)

將上面八組裡的每一個數字,依其宮位,順序填入九宮八卦圖
(由巽卦位起,依順時針方向)。我們就可得到下面答案

IMG_0362a

左上方宮八卦: 8, 11, 22, 33, 44, 47, 58, 69
正上方宮八卦: 1, 18, 21, 34, 37, 54, 57, 70
右上方宮八卦: 6, 13, 26, 29, 42, 49, 62, 66

正左方宮八卦: 3, 16, 27, 28, 39, 52, 63, 64
中宮八卦:         5, 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68
正右方宮八卦: 7, 12,19, 36, 43, 48, 55, 72

右下方宮八卦: 4, 15, 20, 35, 40, 51, 56, 71
正下方宮八卦: 9, 10, 25, 30, 45, 46, 61, 66
右下方宮八卦: 2, 17, 24, 31, 38, 53, 60, 67

九宮圖裡面,又多形成四個八卦圖:
54, 37, 68, 59, 16, 3, 33, 22
49, 42, 72, 56, 14, 5, 34, 21
50, 41, 66, 61, 15, 4, 28, 27
48, 43, 67, 60, 10, 9, 32, 23

因此,總共有十三個八卦。每一八卦的數字和都是 292:
20 x 2 + 9 x (0+1+2+3+4+5+6+7) = 20 x 2 + 9 x 28 = 292

四. 5×5 至9×9 的魔幻方陣例子

5×5, M = 65
11    24     7     20     3
4     12     25     8      16
17    5      13     21     9
10    18    1      14     22
23     6     19     2      15

6×6, M = 111
6       32      3        34      35      1
7       11      27      28      8        30
19     14     16       15      23      24
18     20     22       21      17      13
25     29     10        9       26       12
36     5       33        4       2         31

7x7,M=175
22      47      16      41      10      35      4
5        23      48      17      42      11      29
30      6        24      49      18      36      12
13      31      7        25      43      19      37
38      14      32      1        26      44      20
21      39      8        33      2        27      45
46      15     40       9        34       3       28

8x8,M=260
8       58      59      5        4       62      63       1
49     15      14      52      53     11      10       56
41     23      22      44      45     19      18       48
32     34      35      29      28     38      39       25
40     26      27      37      36     30      31       33
17     47      46      20      21     43      42       24
9       55      54      12      13     51      50       16
64     2        3        61      60      6        7        57

9x9,M=369
37      78      29      70     21      62      13       54      5
6        38      79      30     71      22      63       14      46
47      7        39      80     31      72      23       55      15
16      48       8       40     81      32      64       24      56
57      17      49      9       41      73      33       65      25
26      58      18     50      1        42      74       34      66
67      27      59     10      51      2        43       75      35
36      68      19     60     11      52        3        44      76
77      28      69     20     61      12       53       4        45

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About wtsai

台南一中、台大物理、 哈佛博士。曾任教授、科學家、工程師。專長: 吹牛、高能物理、量子物理、太空物理,天文物理、地球物理,人造衛星設計、測試、發射、資料回收及科學應用。略涉: 武俠、太極、瑜珈、導引、氣功、經脈、論語、易經、老莊、一乘佛經、禪經、靈界實相、Hawkins、Seth。

5 thoughts on “略論魔幻方陣 (Magic Square) 及九宮八卦圖的製作及解說

  1. 信堅師兄:
    前天因送貨需要,把一條腳踏車輪子內胎,沿著內胎圓周用剪刀把它剪成各為一半的兩個圈圈,以利用捆綁物件。很驚訝的是這一次剪完之後,卻形成一個大圈圈。回想之前的裁剪都是很注意沿著紋路剪,都能成功。而這一次疏忽造成移位而剪成一個大圈圈,頗高興自己無心的創現(杏州這樣剪成功的經驗已超過六年,這一次算是失敗了,),所以請問 師兄會剪成一個大圈圈的道理是什麼?
    杏州敬上

    • 這簡直是問道於盲。信堅對此無經驗,不知正確答案。
      但我以常理胡亂猜想,師兄應是以螺旋式(Spiral)裁剪腳踏車內胎,角度剛好回旋至原處,因此形成一個大圓圈。
      還請驗證。

  2. 就是螺旋式裁剪,因為杏州語意表達問題,讓 師兄校正了,就是感到奇妙,為何螺旋式裁剪,就會形成大圈圈.

    • 螺旋式裁剪,是將管形裁剪成線形。內胎是圓形,胎是管形,因此成為大圓形。同理,你可將老氣球,依螺旋式裁剪,而成一長條,亦可當捆綁用。

  3. 原來就是要這樣的陳述問題(螺旋式裁剪,是將管型裁剪成線形 。內胎是圓形,胎是管形,因此成為大圓形),然後思考應用此理於其他;例如老氣球。這也讓杏州想起喝汽水的算術,當時認為有稍微學習到 師兄的邏輯思維,經過這件事;證明自己還在原地踏步。基本正確的界定問題,還要多多練習。 感謝 師兄教導。

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