0.導論
前一陣子,信堅及Allen 陷入”喝汽水算術問題”的魔境,窮研其圓滿解答及啟示。剛告一段落,現在又因友人送來Albrecht Dürer (1471-1528) 於1514 年在他的一副畫上所繪4×4魔幻方陣圖所著迷。依此數字,1至16,在四方格子裡的巧妙排列,無論從任何角度看,四個數字的總合都是34。奇巧無比,真佩服他的聰明才智。初看以為問題深奧,只此一家,別無分店。同時,也在思維,此中所含造物玄機,神的諭旨(Oracle)。
再經深入研討,發現建造此四方魔幻陣的方法,相當簡單。所謂,江湖一點訣,說破不值錢。同時,排列方法,有幾千種不同。早在第十至第十二世紀,波斯及印度就有流傳。同時發現,3×3魔幻方陣圖早在洛書(650 BC) 就有記載。由此而發展成八卦、易經、占卦。
更深入探討,發現古聖先賢早已想出解答 n x n 魔幻方陣的方法。而且,也以下面公式,計算 n x n 魔幻常數,M:
For normal magic squares of order n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9, the magic constants are, respectively: 15, 34, 65, 111, 175, 260 and 369.
一. 魔幻方陣之祖: 洛書
魔術方陣簡單的說,就是一個由1到n*n 的數字所組成的n x n陣列,具有各對角線,各橫行與縱列的數字和都相等的性質。最簡單的魔術方陣是3×3。3×3魔幻方陣圖早在洛書 (650 BC) 就有記載。據說大禹治水時,在洛水發現一隻大烏龜,背上刻有圖案,若用數字表示 就是3×3魔方陣,它的特點是每行、每列與兩對角線上之三數相加皆是15。古書記載,河圖是由古人觀星象,加上宇宙、人生運作法則,而加以應用。
製作方法: 先將數字1至9依順序排列 (圖一),先以四角數字對換,如 (圖二)。再以5為中心,順時針旋轉45度 (一個位次) 就行了 (圖三)。
1 2 3 9 2 7 4 9 2
4 5 6 4 5 6 3 5 7
7 8 9 3 8 1 8 1 6
(圖一) (圖二) (圖三) 洛書
從此基本九宮方陣,我們可用反射 (reflection,圖四及圖五)。也可以5 為中心,順時針旋轉 90度 (圖六)、180度 (圖七)、270度 (圖八),而得到類似九宮方陣。
8 1 6 2 9 4 8 3 4 6 1 8 2 7 6
3 5 7 7 5 3 1 5 9 7 5 3 9 5 1
4 9 2 6 1 8 6 7 2 2 9 4 4 3 8
(圖四) (圖五) (圖六) (圖七) (圖八)
二. 4×4 魔幻方陣製作方法
江湖一點訣,說破不值錢。4×4 魔幻方陣的製作之法,相當簡單。一種製作法是依金庸射鵰英雄傳,黃藥師的女兒,黃蓉,的指示:「以十六字依次作四行排列,先以四角對換,一換十六,四換十三 (圖九),後以內四角對換,六換十一,七換十 (圖十)。這般橫直上下斜角相加,皆是三十四。」
1 2 3 4 16 2 3 13
5 6 7 8 5 11 10 8
9 10 11 12 9 7 6 12
13 14 15 16 4 14 15 1
圖九 圖十
另一種製作法,是將數字由1至16,順序排列 (圖十一)。再將中間兩行及兩列的外方數字 (有色數字) 對調,就行了 (圖十二)。
1 2 3 4 1 15 14 4
5 6 7 8 12 6 7 9
9 10 11 12 8 10 11 5
13 14 15 16 13 3 2 16
圖十一 圖十二
由此基本答案,可加上許多不同運作,而得到同樣可用的 4×4 魔幻方陣。例一: 交換內部兩行或內部兩列 (圖十三至圖十五)。
1 14 15 4 1 15 14 4 1 14 15 4
12 7 6 9 8 10 11 5 8 11 10 5
8 11 10 5 12 6 7 9 12 7 6 9
13 2 3 16 13 3 2 16 13 2 3 16
圖十三 圖十四 圖十五
例二: 旋轉90度 (圖十六至圖十八)。
13 8 12 1 16 3 2 13 4 9 5 16
2 11 7 14 5 10 11 8 15 6 10 3
3 10 6 15 9 6 7 12 14 7 11 2
16 5 9 4 4 15 14 1 1 15 8 13
圖十六 圖十七 圖十八
例三: 由圖十三,內部旋轉 (圖十九至圖二十)。
7 12 1 14 12 1 14 7
2 13 8 11 13 8 11 2
16 3 10 5 3 10 5 16
9 6 15 4 6 15 4 9
圖十九 圖二十
三、九宮八卦圖的製作方法與解答
金庸射鵰英雄傳裡,黃藥師的女兒,黃蓉,解釋九宮八卦圖時說:「那九宮,每宮又可化為一個八卦,八九七十二數。以從一至七十二之數,環繞九宮成圈,每圈八字,交界之處,又有四圈,一共一十三圈。每圈數字相加,均為292。」 舉手之間,又將七十二數的九宮八卦圖在沙上畫了出來。
九宮是洛書裡的 3×3 方陣,分成九格(九宮)。八卦是是易經中所記載的八個符号: 乾、兌、坤、離、巽、震、艮、坎。其排列如下圖,形成一個正八角形。九宮八卦是九宮與八卦的組合。九宮裡的每一宮,都有一個八卦圖,排列如右下圖。
這是一個稍微不規則的魔幻方陣。每一小圓圈裡填上一個數字,從1 至72。每圈數字相加,總合均為292。
其製作方法有多種。在此簡單解說國立屏東高級中學林昆餘及羅有成所用方法。任選一個上面所說的九宮圖的數字排列,作為基本九宮圖 (譬如,用圖21,即上面九宮圖4)。因為我們需要八個九宮圖。因此我們先將圖21,旋轉180, 90,及270度,而形成圖22、圖23、及圖24。
8 1 6 2 9 4 4 3 8 6 7 2
3 5 7 7 5 3 9 5 1 1 5 9
4 9 2 6 1 8 2 7 6 8 3 4
(圖21) (圖22) (圖23) (圖24)
基本九宮圖 Rotate 180 Rotate 90 Rotate 270
首先我們注意到,這四圖的 “同一宮” 的數字總合都是20。譬如,西北宮,8+2+4+6=20; 東南宮,2+8+6+4=20; 正東宮: 7+3+1+9=20。
由此四圖,我們可造出八組九宮圖:
(圖21)+9*0 (第1組); (圖21)+9*4 (第5組)
(圖22)+9*1 (第2組); (圖22)+9*5 (第6組)
(圖23)+9*2 (第3組); (圖23)+9*6 (第7組)
(圖24)+9*3 (第4組); (圖24)+9*7 (第8組)
8 1 6 11 18 13 22 21 26 33 34 29
3 5 7 16 14 12 27 23 19 28 32 36
4 9 2 15 10 17 20 25 24 35 30 31
(第1組) (第2組) (第3組) (第4組)
44 37 42 47 54 49 58 57 62 69 70 65
39 41 43 52 50 48 63 59 55 64 68 72
40 45 38 51 46 53 56 61 60 71 66 67
(第5組) (第6組) (第7組) (第8組)
將上面八組裡的每一個數字,依其宮位,順序填入九宮八卦圖
(由巽卦位起,依順時針方向)。我們就可得到下面答案
左上方宮八卦: 8, 11, 22, 33, 44, 47, 58, 69
正上方宮八卦: 1, 18, 21, 34, 37, 54, 57, 70
右上方宮八卦: 6, 13, 26, 29, 42, 49, 62, 66
正左方宮八卦: 3, 16, 27, 28, 39, 52, 63, 64
中宮八卦: 5, 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68
正右方宮八卦: 7, 12,19, 36, 43, 48, 55, 72
右下方宮八卦: 4, 15, 20, 35, 40, 51, 56, 71
正下方宮八卦: 9, 10, 25, 30, 45, 46, 61, 66
右下方宮八卦: 2, 17, 24, 31, 38, 53, 60, 67
九宮圖裡面,又多形成四個八卦圖:
54, 37, 68, 59, 16, 3, 33, 22
49, 42, 72, 56, 14, 5, 34, 21
50, 41, 66, 61, 15, 4, 28, 27
48, 43, 67, 60, 10, 9, 32, 23
因此,總共有十三個八卦。每一八卦的數字和都是 292:
20 x 2 + 9 x (0+1+2+3+4+5+6+7) = 20 x 2 + 9 x 28 = 292
四. 5×5 至9×9 的魔幻方陣例子
5×5, M = 65
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
6×6, M = 111
6 32 3 34 35 1
7 11 27 28 8 30
19 14 16 15 23 24
18 20 22 21 17 13
25 29 10 9 26 12
36 5 33 4 2 31
7×7,M=175
22 47 16 41 10 35 4
5 23 48 17 42 11 29
30 6 24 49 18 36 12
13 31 7 25 43 19 37
38 14 32 1 26 44 20
21 39 8 33 2 27 45
46 15 40 9 34 3 28
8×8,M=260
8 58 59 5 4 62 63 1
49 15 14 52 53 11 10 56
41 23 22 44 45 19 18 48
32 34 35 29 28 38 39 25
40 26 27 37 36 30 31 33
17 47 46 20 21 43 42 24
9 55 54 12 13 51 50 16
64 2 3 61 60 6 7 57
9×9,M=369
37 78 29 70 21 62 13 54 5
6 38 79 30 71 22 63 14 46
47 7 39 80 31 72 23 55 15
16 48 8 40 81 32 64 24 56
57 17 49 9 41 73 33 65 25
26 58 18 50 1 42 74 34 66
67 27 59 10 51 2 43 75 35
36 68 19 60 11 52 3 44 76
77 28 69 20 61 12 53 4 45
信堅師兄:
前天因送貨需要,把一條腳踏車輪子內胎,沿著內胎圓周用剪刀把它剪成各為一半的兩個圈圈,以利用捆綁物件。很驚訝的是這一次剪完之後,卻形成一個大圈圈。回想之前的裁剪都是很注意沿著紋路剪,都能成功。而這一次疏忽造成移位而剪成一個大圈圈,頗高興自己無心的創現(杏州這樣剪成功的經驗已超過六年,這一次算是失敗了,),所以請問 師兄會剪成一個大圈圈的道理是什麼?
杏州敬上
這簡直是問道於盲。信堅對此無經驗,不知正確答案。
但我以常理胡亂猜想,師兄應是以螺旋式(Spiral)裁剪腳踏車內胎,角度剛好回旋至原處,因此形成一個大圓圈。
還請驗證。
就是螺旋式裁剪,因為杏州語意表達問題,讓 師兄校正了,就是感到奇妙,為何螺旋式裁剪,就會形成大圈圈.
螺旋式裁剪,是將管形裁剪成線形。內胎是圓形,胎是管形,因此成為大圓形。同理,你可將老氣球,依螺旋式裁剪,而成一長條,亦可當捆綁用。
原來就是要這樣的陳述問題(螺旋式裁剪,是將管型裁剪成線形 。內胎是圓形,胎是管形,因此成為大圓形),然後思考應用此理於其他;例如老氣球。這也讓杏州想起喝汽水的算術,當時認為有稍微學習到 師兄的邏輯思維,經過這件事;證明自己還在原地踏步。基本正確的界定問題,還要多多練習。 感謝 師兄教導。